Produtos Notáveis pt.1

Considerações iniciais

Os conceitos sobre os produtos notáveis merecem muita atenção, pois seu uso facilita cálculos, reduz o tempo de resolução e agiliza o aprendizado. O conhecimento dessa ferramenta não implica dizer que não necessitamos saber o desenvolvimento do cálculo proposto, apenas que temos mais caminhos convergentes à solução final. Utilizamos o termo notável para apontar sua importância, sua notabilidade e sua carência de atenção.

Os gregos, na antiguidade, faziam uso de procedimentos algébricos e geométricos exatamente iguais aos produtos notáveis modernos. É importante destacar que o uso de sua maioria foi atribuído aos pitagóricos e estão registrados na obra de Euclides de Alexandria Elementos na forma de representações geométricas.

Ao lidarmos com operações algébricas, perceberemos que alguns polinômios aparecem frequentemente e, ainda, exibem certa regularidade. Esses são os produtos notáveis. Aqui estudaremos o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos, o produto da soma pela diferença de dois temos.

1. O quadrado da soma de dois termos

Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento.

(a + b)² = (a + b) . (a + b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:



O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos

2. O quadrado da diferença de dois termos:

Seguindo o critério do item anterior, temos:

(a - b)² = (a - b) . (a - b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:



O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:

3. O produto da soma pela diferença de dois termos

Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados.



O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

• (4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)² – (3d)² = 16c² – 9d²

• (m + n).(m – n) = m² – n²

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Filmes

Jobs (2013)

Sinopse

Filme sobre a extraordinária história de Steve Jobs, Ashton Kutcher encarna este inovador e revolucionário empreendedor, que tinha como regra não deixar que nada se intrometesse no caminho da grandeza. O filme conta a épica e turbulenta história de Jobs desde que iniciou o percurso que mudou a tecnologia - e o mundo - para sempre

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A Rede Social (2010)

Sinopse

Certa noite no ano de 2003, o génio da programação e aluno de Harvard, Mark Zuckerberg, senta-se ao computador e começa a trabalhar numa nova ideia. Aquilo que inicialmente era apenas uma mistura de programação e blogging, cedo se tornou numa rede social à escala mundial, que revolucionou a forma de comunicar. Seis anos e 500 milhões de amigos depois, Mark Zuckerberg é o mais novo bilionário da História... mas para este empresário, o sucesso vai trazer-lhe também problemas pessoais e legais.

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Donald no País da Matemágica (1959)

Sinopse

Donald no País da Matemágica é uma viagem em um mundo de fantasia onde as árvores têm raízes quadradas. Disney usa a animação para explicar o pentagrama que contém a regra de ouro e, baseado nele, explica a relação de proporção do retângulo de ouro, que representava para os gregos a lei da beleza matemática. "A obra é questionável ao associar a disciplina à mágica e apresentá-la como uma tarefa para intelectuais. Mas algumas cenas contribuem para explorar a relação das teorias matemáticas com a música, a arquitetura e a arte"

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Piratas do Vale do Silício (1999)

Sinopse

O Filme Piratas do Vale do Silício tem como destaque os protagonistas Steve Jobs e Bill Gates, ambos com o mesmo objetivo de vida: Serem reconhecidos e bem sucedidos profissionalmente.A história do filme nos mostra que os dois conseguiram alcançar seus objetivos e que ambos foram desleais em alguns momentos e que se aproveitaram da ingenuidade de outras empresas.

O final do filme acaba sendo muito aguardado, pois todos que não acompanharam de perto os ocorridos entre as empresas oponentes, sentem curiosidade em saber de que forma aconteceu esta concorrência, todos esperam descobrir os mitos e verdades que envolvem os dois homens que mudaram o mundo.

Assista online: https://vimeo.com/66335097

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Pi (π)

O número pi foi determinado pela razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro. Por se tratar de um valor constante, sempre igual, o pi passou a ser representado na matemática pelo símbolo π. Para exemplificar, iremos demonstrar em fórmula que a divisão entre o perímetro e o diâmetro de uma roda de carro e de uma moeda são exatamente o mesmo valor: π.





π é um número irracional que, normalmente, arredondamos o valor para três casas, com o valor π=3,14. No entanto, o mistério da matemática que envolve o π, é que não sabemos qual seria a última casa desse número, que pode ser representado com várias casas após a vírgula, mas sempre terminando em reticências:


π= 3,14159265358979323846…


Por isso, usamos sempre a letra grega π, evitando possíveis erros. O pode ser encontrado por meio da divisão do perímetro pelo diâmetro de uma circunferência, e o perímetro pela multiplicação do diâmetro por π, conforme demonstrado abaixo:



A história do número π


A relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro já era conhecida por diversos povos antigos (como os babilônios e os egípcios), que já sabiam que a razão era maior do que 3. Em placas encontradas dos povos babilônios, havia anotações de uma aproximação grosseira para o valor de π. Eles consideravam a razão como dada pelo número 3 ou por:





Para os egípcios, no entanto, o valor era outro, mais exato, ao qual chegaram por meio da comparação entre a área de um disco circular com o quadrado do seu diâmetro. Se o diâmetro for 2 e a área π, podemos ter o valor de π por meio da regra egípcia:





Os gregos foram os primeiros a mostrar por quais motivos a razão dos círculos de tamanhos distintos é a mesma. Trata-se de uma simples propriedade das figuras semelhantes. Arquimedes foi quem aproximou mais o número π do valor real, aproximando a circunferência por polígonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados, determinando uma limitação para π:





ou seja, 3,14085 < π < 3,142857.


Dessa forma, com o passar dos anos, os valores foram sendo melhorados e aproximados ao real. No entanto, foi a partir do século XX, com uso de computadores e dos algoritmos computacionais que se tornou mais precisa a definição do valor de π.
O cálculo da área de um círculo


O π aparece também na fórmula que determina a área de um círculo, que é constituída pelo fracionamento do círculo em uma infinidade de triângulos isósceles, sendo que dois dos lados do triângulo devem ter a medida do raio.

Com dois triângulos desses, formamos um paralelogramo com uma inclinação pequena, que tende ao retângulo.

Com a multiplicação da base pela altura, temos a área de um retângulo e, como cada retângulo é formado por dois triângulos, sendo que sua base é um pedaço do perímetro do círculo, a fragmentação tem que ser imaginada com um número par de triângulos, para que todos se unam em pares para formar retângulos. Une-se, em seguida, todos os retângulos em um retângulo maior cuja base é πR e a altura é R, como demonstrado na imagem abaixo.

O processo de encaixe dos triângulos dois a dois faz com que a base seja a metade do perímetro do círculo. Multiplicando a base pela altura, temos π x R x R, determinando a área desse retângulo, que pode ser representado por:

A = π .R²

Matemática na Música

A Escala Pitagórica

A matemática e a música têm funções muito diferentes na sociedade. No entanto, estão mais intimamente relacionadas do que geralmente se pensa. A música, com toda a sua paixão e emoção, também é baseada em relações matemáticas. Noções como a de oitava, acorde, escala ou tonalidade podem ser desmistificadas e compreendidas logicamente, usando a matemática.


A matemática também está relacionada com questões de estética musical. Por exemplo, um músico experiente consegue ouvir um trecho musical, observar a sua estrutura musical e acompanhá-la correctamente, mesmo sem conhecer ou ter ensaiado previamente a melodia, por ser capaz de reconhecer padrões e formas familiares. Este tipo de raciocínio assemelha-se muito ao que acontece quando se estuda matemática, onde a identificação de relações e padrões é parte essencial.


Uma das estruturas musicais que está intimamente relacionada com a matemática, é a noção de escala musical. Uma escala musical é uma sequência ordenada de tons pela frequência vibratória de sons, (normalmente do som de frequência mais baixa para o de frequência mais alta), que consiste na manutenção de determinados intervalos entre as suas notas. Vejamos então como a matemática está envolvida na construção desta estrutura musical.


Conceitos importantes:


Antes de falar sobre as escalas propriamente ditas, é conveniente clarificar alguns conceitos, nomeadamente os conceitos de:


Som - onda (ou conjunto de ondas) que se propaga no ar com uma certa frequência; para as que se situam na faixa de 20 a 20.000 Hz, o ouvido humano é capaz de vibrar à mesma proporção, captando essa informação e produzindo sensações neurais, às quais o ser humano dá o nome de som.


Nota musical - termo empregue para designar o elemento mínimo de um som, formado por um único modo de vibração do ar. A cada nota corresponde uma duração e está associada uma frequência.


Intervalo - uma diferença de tom entre duas notas; denominam-se intervalos harmónicos se os dois tons soam simultaneamente e intervalos melódicos se eles soam sucessivamente.


Acorde - é a escrita ou execução de duas ou mais notas simultaneamente.


Vejamos agora algumas escalas importantes em termos musicais e a sua relação com a matemática.


Escala Pitagórica




Pitágoras desenvolveu a primeira escala musical com base matemática da história ocidental. Na Escola Pitagórica a Música era considerada como estando ao mesmo nível da Aritmética, Geometria e Astronomia. A Música era a ciência do som e da harmonia.


Os antigos gregos descobriram que, para uma nota de uma determinada frequência só as notas cujas frequências eram múltiplos inteiros da primeira poderiam ser convenientemente combinadas (consonantes). Se, por exemplo, a nota de frequência 220 Hz era tocada, as notas com maior consonância com a mesma seriam as de frequências 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz, etc. e seriam percebidas como versões mais agudas ou graves da mesma nota. A razão mais importante entre frequências é, por isso, de 1:2, que no sistema de notação musical ocidental é chamado de um intervalo de oitava (por existirem 8 notas, ou tons inteiros, entre as duas frequências). Sempre que a razão entre frequências é de 1:2 estamos em presença de um intervalo de oitava. Outras razões permitem construir outros intervalos os de quinta (2:3), quarta (3:4), terceira maior (4:5) e terceira menor (5:6), todos importantes para a criação dos acordes.


A diferença entre uma quinta e uma quarta era definida como um tom inteiro, e resulta numa razão de 8:9.


A afinação de um intrumento pela escala pitagórica define todas as notas e intervalos de uma escala musical a partir de uma série de quintas com uma razão de 3:2. Assim sendo é, não só um sistema matematicamente elegante mas também um dos mais simples de afinar.

Partindo do intervalo de oitava dado pelas frequências genéricas fo e 2fo pode-se formar a escala pitagórica, desde que se mantenha os intervalos (ou seja as razões numéricas) entre as notas. As notas obtidas formam a chamada escala diatónica de sete notas que conhecemos vulgarmente por Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si. Se calcularmos os intervalos entre todas as alturas da escala diatónica teremos apenas dois valores: (9/8) e (256/243), chamados respectivamente de tom pitagórico diatónico e semitom pitagórico diatónico. Obtém-se assim uma escala com 7 notas diferentes como as da figura






Os estudos de razões “harmónicas” e proporções eram a essência da música durante a época dos pitagóricos. A partir da Idade Média, no entanto, com o desenvolvimento de música mais complexa, observou-se que, embora as razões fossem “perfeitas”, ocorriam problemas quando acordes particulares, diferentes tonalidades ou escalas com mais notas eram utilizadas.


O problema derivava da definição dos intervalos de terceira, quinta e oitava quando definidos por números inteiros. Ao adicionar vários intervalos de terceira e quinta sucessivamente a uma nota de base, nunca se consegue atingir novamente uma oitava da nota de base. Quer isto dizer que adicionar tons inteiros definidos pela razão 9:8 a uma nota de base de frequência fo, nunca permite criar uma nova nota de frequência 2fo, 3fo, 4fo ou semelhantes.


Surgiu assim a necessidade de um sistema de afinação alternativo e de outras definições de escala.


Escala Bem Temperada e Igualmente Temperada


Johann Sebastian Bach introduziu, no século XVIII o sistema do “bom temperamento”. O temperamento envolve o ajuste dos intervalos da escala pitagórica de tal forma que uma oitava era dividida em intervalos que permitiam tocar em qualquer tonalidade e eliminar o problema das notas nas oitavas não serem coincidentes. Inicialmente existiam vários métodos de afinação “bem temperada”. O que sobreviveu até aos nossos dias foi o sistema com uma escala de doze semitons igualmente distribuidos pela oitava (escala igualmente temperada). O pai de Galileo, um músico teórico, foi um dos primeiros a propor este sistema, no século XV, embora este só tenha sido adoptado como referência no século XIX.

Nesta escala, um tom inteiro já não é definido pela razão 9:8=1,125 mas por dois semitons (cada um expresso como) obtendo o valor numérico de. Assim sendo, se chamamos i ao intervalo entre cada semitom da escala temperada, um intervalo de quinta (7 semitons) é i7, um intervalo de quarta (5 semitons) é i5, um intervalo de segunda maior (2 semitons) é i2, e assim por diante. O intervalo de oitava (12 semitons), dado por i12, tem a relação de 2/1, que corresponde à oitava pitagórica.


Pode-se calcular qualquer outro intervalo da escala temperada usando-se a expressão in = 2 n/12, onde n é o número de semitons contido no intervalo. Por exemplo, para calcular a frequência de um Mi quinta acima (7 semitons) de um Lá de 440 Hz temos:


Fi = fo * 2 n/12 = 440 * 2 7/12 = 440 * 1.498 = 659,25 Hz


Foram propostas e existem actualmente várias escalas temperadas. No entanto, a escala de doze semitons igualmente temperada é a única escala igualmente temperada que contém os sete intervalos consonantes com uma boa aproximação (cerca de 1% de variação em relação ao intervalo “puro”, ver tabela) e contém mais intervalos consonantes que dissonantes. Por isso, é provavelmente a melhor solução de compromisso de todas as escalas possíveis, sendo essa a razão pela qual é a escala de referência no mundo ocidental e a sua utilização é comum em todo o mundo.

Nota	Razão Intervalar da Escala Pitagórica	Razão Intervalar da Escala Igualmente Temperada	No de Semitons
Dó	1,000	1,000	0
Dó# Réb	1,054	1,059	1
Ré	1,125	1,122	2
Ré# Mib	1,185	1,189	3
Mi	1,266	1,260	4
Fá	1,333	1,335	5
Fá# Solb	1,405	1,414	6
Sol	1,500	1,498	7
Sol# Láb	1,580	1,587	8
Lá	1,688	1,682	9
Lá# Sib	1,778	1,782	10
Si	1,898	1,888	11
Dó	2,000	2,000	12

A principal questão das escalas e sistemas de afinação temperados é que embora o ouvido humano prefira os intervalos “puros” pitagóricos, uma escala temperada é necessária para a execução de música mais complexa com acordes e instrumentação variada. De um modo geral, os indivíduos preferem escalas musicais com muitos intervalos consonantes (que “soam bem”). Não existe uma lista definitiva de intervalos consonantes porque o conceito de consonância envolve um julgamento estético subjectivo. O que é facto é que os músicos actuais têm que se adaptar ás pequenas dissonâncias da escala temperada para afinar os seus instrumentos.



Quer isto dizer que vivemos agora num mundo de escalas igualmente temperadas? Não propriamente. Actualmente vivemos num mundo onde a música de Bach será tocada num instrumento bem temperado, a música medieval executada utilizando a escala pitagórica e Chopin num piano igualmente temperado. A tendência actual é para tentar reproduzir, sempre que possível, a sonoridade da época em que a composição musical foi escrita. Para tal o conhecimento e uso de uma afinação específica e das relações matemáticas entre as notas aqui abordadas é fundamental.

EQUAÇÕES DO 2º GRAU

EQUAÇÕES DO 2º GRAU



Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:


2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau. 2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.


Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são:

a = 1, b = –2 e c = –3.


Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:







1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta:


∆ = b² – 4 . a . c
∆ = (–2)² – 4 . 1 . (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16



2º passo





Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.






Exemplo 2


Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.


Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16


∆ = b² – 4. a . c
∆ = 8² – 4. 1. 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0



No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.






Exemplo 3


Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.


∆ = b² – 4. a . c
∆ = 6² – 4. 10. 10
∆ = 36 – 400
∆ = –364


Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais.



Resumindo, chama-se equação do 2º grau com uma variável toda expressão matemática que tenha a forma:

ax² + bx + c = 0.

Em que, x é a variável, e a, b e c são números reais, com a ≠ 0.

Para reconhecermos os números reais a, b e c, faremos a seguinte associação:

a é o coeficiente de x².
b é o coeficiente de x.
c é o termo independente.

Uma equação do 2º grau pode ser classificada completa, quando possui todos os coeficientes numéricos diferentes de zero e incompleta quando faltam os coeficientes b ou c, ou ambos.


Para que serve a equação do segundo grau?

A equação do 2º grau é um método antigo e muito usado para resolução de problemas. Existem registros de uso dos babilônicos, egípcios e gregos. Esse método de resolução de problemas auxilia na geometria aplicada ao cotidiano. Vários profissionais de exatas precisam dela para exercer suas atividades.

Exemplos:

- Na engenharia é usada para estudar lançamentos, trajetória de parábolas e materiais;
- Em física nos movimentos uniformemente variados, lançamentos, queda livre, entre outros;
- Em administração ou economia, pode ser usada para descobrir o lucro máximo de uma empresa.



Bhaskara descobriu a fórmula de Bhaskara ?





O hábito de dar o nome de Bháskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase 4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação do 2° grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète, matemático francês que viveu de 1540


Mas por que logo para Bháskara?


Bhaskara (também conhecido como Bhaskaracharya) que nasceu na Índia em 1114 e viveu até cerca de 1185 foi um dos mais importantes matemáticos do século XII. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidos são Lilavati (A Bela) e Vijaganita (Extração de raízes), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contém numerosos problemas sobre equações lineares e quadráticas (resolvidas também com receitas em prosa), progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas (ou ternas pitagóricas) e outros.




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Número de Ouro

O número de ouro, é um número especial na matemática e faz parte do conjunto dos números irracionais. Simbolizado pela letra grega Phi ou fi, o número 1,618034 apresenta algumas características fascinantes. Este número é o resultado de uma divisão considerada a mais harmoniosa a partir de um segmento. A seção áurea como é conhecida, foi usada por pintores e arquitetos no passado sendo considerada por muitos com uma oferta de Deus ao mundo e aparece também na natureza sobre diversos aspectos. Ao desenharmos um retângulo cuja razão entre os comprimentos dos lados, maior e menor, é igual ao número de ouro, obtemos um retângulo de ouro. A foto acima é do Parthenon, construído em Atenas na Grécia (430 a. C), um exemplo antigo da utilização do retângulo de ouro.




RETÂNGULO DE OURO

O retângulo áureo ou de ouro é um objeto matemático que marca forte presença no domínio das artes, nomeadamente na arquitetura, na pintura e até na publicidade. Até mesmo nas situações mais práticas do nosso cotidiano encontramos aproximações do retângulo de ouro, como por exemplo, o formato dos cartões de crédito, bilhetes de identidade, assim como a forma retangular da maior parte dos nossos livros.

Os retângulos áureos estão nas obras gregas, nas obras de Leonardo da Vinci, Albrescht Dürer, Salvador Dali, dentre outros e também, em muitas obras da arquitetura clássica em que temos como exemplo claro o Parthenon.


Da Vinci

Leonardo da Vinci usou Phi ou fi para pintar a Mona Lisa, uma de suas mais notáveis obras. Em vários pontos da obra, tais como nas relações entre seu tronco e cabeça, ou entre os elementos do rosto aparece a razão áurea.










Outra obra de Da Vinci em que se vê com bastante clareza o uso da Razão Áurea é o Homem Vitruviano como nota-se na imagem a seguir:








Retângulo áureo no Parthenon
Na imagem abaixo, o frontispício dessa obra, hoje em ruínas, está sobreposta por formas retangulares.








Se dividirmos as medidas dos lados maiores pelas medidas dos lados menores desses retângulos, obteremos números próximos da razão a "phi" = 1,618034...


Chamamos de retângulo áureo aquele em que se aplica a seguinte propriedade: de um retângulo ABCD, suprimimos um quadrado ABEF, restando assim, um novo retângulo CDEF, sendo que, se este for semelhante ao original, então ABCD é áureo.








Assim, podemos traduzir a definição acima da seguinte maneira:
a/a+b = b/a (1)
Da relação (1) decorre, a seguinte propriedade das proporções, onde:






Isto significa que se o retângulo de lados a + b e a é áureo, logo o retângulo de lados a e b também será áureo e assim, sucessivamente.






Outras Aplicações


Ainda hoje há artistas usando a “divina proporção” em seus trabalhos, e cientistas, como Roger Penrose, estão descobrindo muitas aplicações da razão áurea na matemática e na natureza.

Sabe-se hoje que existe uma ligação entre a razão áurea e a série de Fibonacci. A seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., correspondente aos lados dos quadrados que montam essa espiral, é a mesma que Leonardo Pisano (Fibonacci 1180-1250), em seu livro Liber Abbaci, de 1202, calculou para o crescimento das populações de coelhos a partir de um casal.

Dividindo, a partir do terceiro termo dessa seqüência, o número deste termo pelo número do termo anterior, teremos a seqüência de frações 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13... que se aproximará cada vez mais da razão áurea fhi = 1,618034...

Observe a figura abaixo:






Assim, podemos perceber que razão entre os termos consecutivos da seqüência de Fibonacci tendem a phi.


A razão áurea e a seqüência de Fibonacci


Agrupados na forma vista na figura anterior, temos uma seqüência de quadrados com lados de medidas iguais aos números da seqüência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...) e assim, se formará uma espiral muito encontrada em formas da natureza, a chamada Espiral de conchas e flores.








Esta espiral pode ser vista facilmente no molusco náutilo (Nautilus pompilius) e na distribuição de pétalas de diversas flores.








Observe nas figuras a seguir como realmente pode-se encontrar uma seqüência de retângulo de ouro formando a espiral de Fibonacci:



















TRIÂNGULO DE OURO



Um triângulo é um triângulo áureo quando ele é semelhante ao triângulo retângulo com hipotenusa medindo 1,618... (phi) e catetos com medidas 1 e 1,272... (raiz quadrada de phi). Assim, um triângulo retângulo com hipotenusa a e catetos b e c (b > c) é áureo se, e somente se,









O triângulo áureo é encontrado no "pentagrama místico". A partir do triângulo áureo podemos desenhar uma espiral logarítmica.








Acredita-se que, no Egito, as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea. A razão entre a altura de um face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. O Papiro de Rhind (Egípcio) refere-se a uma “razão sagrada” que se crê ser o número de ouro. Esta razão ou secção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade. A razão aparece, também, na proporção entre altura e lados e nas câmaras internas.












Logo, para verificarmos se uma pirâmide é ou não áurea, devemos analisar a seguinte definição:

Pirâmide reta de altura h com base quadrada de lado a e a altura de suas faces seja H. Desta maneira, quando o triângulo de lados H, h e a/2 for um triângulo áureo, a pirâmide também será áurea.

Mais sobre o número de ouro:

09 razões para gostar e estudar Matemática

• Estimula a descoberta. Matemática é experimentação. Um bom professor sabe como incentivar crianças e adolescentes a raciocinar e a chegar aos resultados pelos seus próprios caminhos. Quando se entende a Matemática, ela torna-se uma atividade prazerosa.
• Favorece a autonomia. Não há uma forma única de se chegar aos resultados de cálculos matemáticos. Se bem estimulados, crianças e adolescentes podem criar as suas próprias fórmulas e metodologias sozinhos, o que certamente irá transformá-los em pessoas mais autónomas e independentes.
• Facilita a vida cotidiana. Nós precisamos da Matemática para praticamente tudo o que fazemos, desde calcular quanto arroz precisamos preparar para o almoço até planejar como será gasto o salário ou mesada. Ou seja: compreender Matemática é essencial para se viver em sociedade.
• Desenvolve o raciocínio. Todas as disciplinas escolares desenvolvem o raciocínio, é verdade. Mas não há como negar que, entre elas, a Matemática é a mais poderosa. Lidar com números e cálculos – dos mais fáceis aos mais difíceis – é uma arma poderosa para aprender a raciocinar melhor e mais rápido. E não estamos a falar apenas de raciocínio matemático. A Matemática ajuda em todas as disciplinas, até mesmo no Português!
• Ajuda na concentração. A Matemática é, talvez, a disciplina que mais necessita de concentração, porque afinal, se dá para ler um texto em bocados, não dá para parar uma conta na metade sem ter que começá-la de novo. Por isso, quem leva esta disciplina a sério tem um poder de concentração muito maior – o que vai ajudar também em todas as outras disciplinas, como é natural.
• Mostra o prazer dos desafios. A vida nada é mais do que uma sucessão de desafios. Primeiro temos a escola, depois os exames, conseguir um bom emprego, dar uma boa Educação aos filhos e por aí fora. E a Matemática, com todos os seus desafios (e o prazer em superá-los), tem o poder de mostrar às crianças e adolescentes que os desafios podem ser prazerosos e são até importantes para o nosso amadurecimento.
• Valoriza o esforço. Apesar de uma atividade intelectual, Matemática é suor: não é fácil e exige muito do nosso cérebro. Crianças e adolescentes vão perceber que só consegue as respostas certas quem se esforça de verdade – e essa é uma lição que vale para toda a vida.
• Deixa a brincadeira muito mais divertida. Banco imobiliário, batalha naval, jogo da memória. Esses são apenas alguns jogos que exigem noções de Matemática. Além deles, há muitos outros. Então não há dúvidas: além de ser uma das disciplinas mais importantes, essencial no nosso quotidiano, ela ainda pode deixar a vida muito mais divertida!
• Pode fazer de você um campeão. As Olimpíadas da Matemática são um evento que acontece anualmente. É uma forma divertida e emocionante de despertar o gosto pelos números e revelar talentos.

Fonte: Educar para Crescer